Для откорма животных употребляют два вида корма 1 и 2
Тема
4.2. Задачи линейного программирования
1755. Для
откорма животных употребляют два вида кормов; стоимость 1 кг корма ? вида – 5 ден.
ед., а корма ?? – 2 ден. ед. В каждом килограмме корма ? вида содержится 5 ед.
питательного вещества А, 2,5 ед. питательного вещества Б и 1 ед. питательного
вещества В, а в каждом килограмме корма ?? вида соответственно 3, 3 и 1,3 ед.
Какое количество корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы
затраты на откорм были минимальными, если суточный рацион предусматривает
питательных единиц типа А не менее 225 ед., типа Б – не менее 150 ед. и типа в
– не менее 80 ед.?
Решение
Занесем исходные данные в таблицу
Питательное вещество
Необходимый минимум питательных веществ
Число единиц питательных веществ в 1 кг корма
?
??
А
225
5
3
Б
150
2,5
3
В
80
1
1,3
Составим
экономико – математическую модель задачи.
Обозначим
– количество кормов ?
и ??, входящих в дневной рацион. Тогда этот рацион будет включать единиц питательного вещества А, единиц вещества Б и единиц питательного
вещества В. Так как содержание питательных веществ А, Б, В в рационе должно
быть не менее соответственно 225, 150 и 80 единиц, то получим систему
неравенств:
(*)
Кроме того,
переменные . (**)
Общая стоимость
рациона составит (в ден. ед)
(***)
Итак, экономико – математическая
модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе (*) и условию (**), при котором
функция (***) принимает минимальное значение.
При компьютерной
реализации данной задачи получаем следующее решение:
, F=150
ден.ед.
Решение
закончено.
Тема
4.3. Задачи транспортного типа.
1764. В
резерве трех железнодорожных станций А, В и С находятся соответственно 60, 80 и
100 вагонов. Составить оптимальный план перегона этих вагонов к четырем пунктам
погрузки хлебе, если пункту № 1 необходимо 40 вагонов, № 2 – 60 вагонов, № 3 –
80 вагонов и № 4 – 60 вагонов. Стоимости перегонов одного вагона со станции А в
указанные пункты соответственно равны 1, 2, 3, 4 ден. ед., со станции В – 4, 3,
2, 0 ден. ед. и со станции С – 0, 2, 2, 1 ден. ед.
Решение
1. Проверяем сбалансированность
модели ТЗ. Суммарный резерв вагонов на трех железнодорожных станциях составляет
вагонов; суммарная потребность четырех пунктов погрузки хлеба
в вагонах равна вагонов. Таким образом, модель ТЗ является сбалансированной
(закрытой).
2. Заносим исходные данные в
распределительную таблицу.
Пункты погрузки
Запасы
станции
1
2
3
4
60
4
3
2
0
80
0
2
2
1
100
потребности
40
60
80
60
3. Строим опорный план методом
«минимального элемента». Находим количество вагонов, которые следует отправить
по данному маршруту. Находим клетку с минимальным тарифом; это клетка (2;4), в
которую заносим максимально возможное количество вагонов
вагонов.
Затем мысленно вычеркиваем (закрываем) столбец. Из оставшихся клеток таблицы находим клетку с минимальным
тарифом; это – клетка (3;1), в которую вновь вносим максимально возможное
количество вагонов
вагонов.
Закрываем столбец . Из оставшихся клеток наименьший тариф имеет клетка (1;2), в
которую заносим
вагонов.
Закрываем столбец . ,
Начальный опорный план построен.
Посчитаем стоимость перегонов вагонов по этому плану.
ден. ед.
4. Проверяем начальный опорный
план на вырожденность. Для этого считаем число загруженных клеток таблицы; оно
равно 5. Согласно требованиям, предъявляемым к опорному плану, число
загруженных клеток должно быть равно 4+3-1=6. Таким образом, заключаем, что
начальный опорный план вырожден.
Введем нулевую постановку в клетку, имеющую наименьший
тариф, такая клетка становиться условно занятой – (1;1).
5. Строим систему уравнений для
определения потенциалов поставщиков и потребителей, используя только
загруженные клетки таблицы:
Пункты погрузки
Запасы
станции
1
2
3
4
60
0
4
3
2
0
80
-1
0
2
2
1
100
-1
потребности
40
60
80
60
1
2
3
1
При этом потенциал полагаем
равным нулю. В результате решения системы уравнений методом последовательного
исключения неизвестных находим значения потенциалов:
6. Находим косвенные тарифы
незагруженных клеток таблицы
7. Находим оценки незагруженных
клеток таблицы:
Поскольку все оценки свободных клеток неположительные, то
начальный опорный план является оптимальным планом перегона вагонов с трех
железнодорожных станций в четыре пункта погрузки хлеба:
.
Это означает, что с
первой станции следует перегнать 60 вагонов во второй пункт, со второй станции
следует перегнать 20 вагонов в третий пункт и 60 вагонов в четвертый пункт, и с
третьей станции следует перегнать 40 вагонов в первый пункт и 60 – в третий.
Суммарная минимальная стоимость перегона равна 280 ден. ед
Решение закончено.
Источник
Вариант № 2.
Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.
Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества и не менее 12 единиц питательного вещества . Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?
Решение:
1. Введем переменные:
– количество корма 1;
– количество корма 2.
2. Зададим целевую функцию. Задача на минимизацию затрат. Запишем уравнение, описывающее затраты
3. Ограничения:
Найдем решение сформированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим область допустимых решений. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств, и найдем соответствующие прямые:
Выразим через
Для построения прямой достаточно двух точек, найдем их координаты:
Эти прямые изображены на рисунке 1. Условие неотрицательности показывает, что искомая область располагается в первой четверти.
Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость.
Рисунок 1. Графический метод решения
На рисунке 1, область допустимых решений не ограничена и отмечена штрихом. Координаты любой точки, принадлежащей этой области, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую области допустимых решений, в которой целевая функция принимает минимальное значение. Чтобы найти указанную точку, построим вектор и линию уровня, которая перпендикулярна этому вектору.
Так как задача на минимум, то линию уровня будем двигать по направлению вектора. Первая точка касания и будет оптимальным решением. Координаты этой точки и определяют оптимальные количества кормов и , при которых ежедневные затраты на кормление одного животного являются минимальными.
В данном примере это точка пересечения прямых I и Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых
Следовательно, если совхоз для кормления животных будет использовать 2 кг корма 1 и 2 кг корма 2, то минимальные затраты составят
Если данную задачу решать на максимум, то линия уровня будет сдвигаться вправо до бесконечности (так область решений не ограничена). Таким образом, конечного решения не будет.
Задача № 2. Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях.
В обработку поступили две партии досок для изготовления комплектов из трех деталей (треугольные каркасы настилов на стройплощадку), причем первая партия содержит 52 доски длиной по 6,5 м каждая, вторая содержит 200 досок длиной по 4 м каждая. Каждый комплект состоит из двух деталей по 2 м каждая и одной детали в 1,25 м.
Ставится задача поиска рационального варианта раскроя поступившего в обработку материала.
Решение:
Критерием оптимальности в данной задаче будет максимум выпуска комплектной продукции. Построим возможные способы раскроя исходного материала:
Введем необходимые обозначения: – число досок из партии , которое следует раскроить способом. Рассмотрим соотношения:
Обозначим через – минимальное из этих соотношений (это и будет количество комплектной продукции). Следовательно, экономико-математическая модель примет вид:
– Целые неотрицательные. Для удобства записи заменим двухиндексные переменные на одноиндексные переменные так как это показано в таблице раскроя Тогда ЭММ задачи примет вид:
При ограничениях:
Реализуя приведенную модель в любом пакете прикладных программ, получим решение:
Оптимальные значения остальных переменных равны нулю. Следовательно, в данной хозяйственной ситуации максимальное количество наборов, равное 215 шт. можно изготовить и реализовать, если:
– раскроить каждую из 15 досок длиной 6,5 м на 2 детали по 2 м и 2 детали по 1,25 м;
– раскроить каждую из 37 досок длиной 6,5 м на 5 деталей по 1,25 м;
– раскроить каждую из 200 досок длиной 4 м на 2 детали по 2 м. В этом случае будет получена максимальная выручка.
Задача № 3. Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования.
Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у. е.) на перевозку 1тонны песка с карьеров на ремонтные участки.
Числовые данные для решения содержатся ниже в Матрице планирования. Требуется:
1) Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.
2) Что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ?; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами?
Матрица планирования:
Решение:
Суммарные объемы предложений по карьерам равны суммарным объемам потребностей по участкам работ, т. е. выполняется условие общего баланса Следовательно, данная задача закрытого типа.
Построим начальный базисный план Методом минимальной стоимости. Назначение перевозок начинаем с клетки (1,5), имеющей минимальную стоимость перевозки (1). В клетку (1,5) записываем наименьшее из значений и и исключаем из дальнейшего рассмотрения пятый участок. Корректируем предложение первого карьера на величину
Следующая поставка осуществляется от второго карьера третьему участку. В клетку (2,3) назначаем перевозку исключаем из дальнейшего рассмотрения третий участок. Корректируем предложение второго карьера С оставшейся матрицей поступаем аналогично предыдущему:
План перевозок, построенный методом минимальной стоимости:
Построенный начальный план перевозок является вырожденным, так как число назначенных перевозок меньше В одну из свободных клеток поставим ноль. Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Определим оптимальность полученного плана. С помощью Метода потенциалов вычислим потенциалы строк и столбцов по стоимости перевозок в загруженных клетках. Если известен , то если известен , то Положим, например, Тогда будут вычислены и остальные потенциалы строк и столбцов.
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Начиная с клетки разметим вершины контура попеременно знаками плюс «+», минус «-», обходя замкнутый контур в любом направлении. Из клеток, помеченных знаком «-», выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 100 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».
Определим полную стоимость перевозок по новому плану
Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 0 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».
Определим полную стоимость перевозок по новому плану
Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:
Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален.
Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ. В этом случае, будем считать, что транспортные затраты на перевозку от первого карьера до второго участка работ бесконечно большая . Составим начальный план методом минимальной стоимости в столбце.
Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число назначенных перевозок равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при запрете на перевозку с первого карьера на второй участок, транспортные расходы вырастут на
Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если перевозка от первого карьера до второго участка работ будет ограничена объемом 3 тонны. Составим начальный план произвольным образом, учитывая данное ограничение.
Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число базисных клеток (без ограничений на перевозку) равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеются отрицательные значения. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план.
Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Полученный план не оптимален. Среди оценок имеются отрицательные значения. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план.
Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:
Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости
Характеристики свободных клеток не отрицательны (кроме клетки с ограничением), следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при ограничении на перевозку с первого карьера на второй участок тремя тоннами, транспортные расходы вырастут на
Задача № 4. Рассчитать характеристики системы массового обслуживания. Поток требований является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону.
На строительном участке в инструментальной мастерской работают 3 мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда все мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он не уходит из мастерской и ожидает обслуживания. Статистика показала, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 4, среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт инструмента, равно 10 мин. Рассчитайте основные характеристики работы данной мастерской как СМО с ожиданием.
Решение:
Имеем
Тогда интенсивность обслуживания равна
Интенсивность нагрузки равна
Поскольку
Очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. Находим вероятности состояний:
Число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО на интенсивность обслуживания
Вероятность отсутствия очереди будет:
Среднее число рабочих в очереди:
Среднее число рабочих в мастерской:
Среднее время ожидания в очереди:
Среднее время пребывания рабочего в мастерской:
Источник