Имеется два вида корма i и ii содержащие питательные вещества

На главную страницу

Линейное
программирование

В конец страницы

10.1. ПРИМЕРЫ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

1. Задача использования сырья
(задача планирования производства).

Для изготовления двух видов
продукции  и
 используют
три вида сырья: ,
 и
.
Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы
продукции, а также величина прибыли, получаемая от реализации единицы продукции,
приведены в таблице 10.1. Необходимо составить такой план выпуска продукции,
чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.

Таблица 10.1

 Составим
экономико-математическую модель (математическое описание исследуемого
экономического процесса) задачи.

Обозначим через
,
 количество
единиц продукции соответственно ,
,
запланированных к производству. Тогда учитывая количество единиц сырья,
затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также запасы сырья, получим
систему ограничений

(10.1)

     
По смыслу задачи переменные
,
.
(10.2)

Суммарная прибыль
F(x) составит
 руб.
от реализации продукции  и
 руб.
– от реализации продукции ,
т.е.

                                                    
.
(10.3)

Итак, экономико-математическая
модель задачи: найти такой план выпуска продукции
,
удовлетворяющий системе (10.1) и условию (10.2), при котором функция (10.3)
принимает максимальное значение.

Задачу легко обобщить на случай
выпуска n видов продукции с использованием
m видов сырья.

2. Задача составления рациона
(задача о диете).

Имеется два вида корма
I и II, содержащие
питательные вещества (витамины) ,
 и
.
Содержание количества единиц питательного вещества в 1 кг каждого вида корма и
стоимость 1 кг корма приведены в таблице 10.2.

 Таблица
10.2

Необходимо составить дневной
рацион, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее
установленного минимума, причем затраты на него должны быть минимальными.

Составим экономико-математическую
модель задачи. Обозначим через  и
 соответственно
количество кормов I и II,
входящих в дневной рацион. Принимая во внимание значения, приведенные в табл.
10.2, и условие, что дневной рацион удовлетворяет требуемой питательности только
в случае, если количество единиц питательных веществ не меньше предусмотренного,
получим систему ограничений

(10.4)

Кроме того, переменные

                                                    
,
. (10.5)

Общая стоимость рациона (в руб.)
составит

                                          
. (10.6)

Итак, экономико-математическая
модель задачи: составить дневной рацион
,
удовлетворяющий системе (10.4) и условию (10.5), при котором функция (10.6)
принимает минимальное значение.

3. Задача о раскрое материалов.

На раскрой поступает материал
одного образца в количестве a единиц. Требуется
изготовить из него l разных комплектующих
изделий в количествах пропорциональных числам 
,
,
…,  (условие
комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена
n различными способами, при этом использование
i-го способа (i
=1, 2, …, n) дает
 единиц
k-го изделия (k
= 1, 2, …, l). Требуется составить план
раскроя, обеспечивающий максимальное количество комплектов.

Составим экономико-математическая
модель задачи. Обозначим через  количество
единиц материала, раскраиваемых i-м способом, и
x – количество изготавливаемых комплектов
изделий.

Так как общее количество материала
равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то

(10.7)

 Условие комплектности выразится
уравнениями

 (k
= 1, 2, …, l)                       
(10.8)

по смыслу задачи переменные

                                                    
 (i
= 1, 2, …, n).                           
(10.9)

Итак, экономико-математическая
модель задачи: найти такое решение ,
удовлетворяющее системе уравнений (10.7) – (10.8) и условию (10.9), при котором
функция F = x
принимает максимальное значение.

 Назад     К
началу страницы    
Вперед

Работа добавлена на сайт samzan.ru: 2016-03-05

Задача 1

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

1.8. имеется два вида корма I  и II, содержащие питательные вещества (витамины) S1, S2, и S3. содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных веществ приведены в таблице.

Решение

1.  Разработка ЭММ. Введем необходимые обозначения. Пусть:

x1 – количество единиц I

x2 – количество единиц II

С учетом этих обозначений ЭММ рассматриваемой задачи имеет вид:

1.  Реализация ЭММ.

Полученная ЭММ – задача линейного программирования

1.  Решим полученную задачу линейного программирования графическим методом.

Построим прямые ограничений:

и линию уровня:

При перемещении линии уровня в направлении вектора-Градиента получаем точку В, это и есть точка минимума, найдем ее координаты – оптимальное решение.

При помощи пакета MS Excel  с использованием инструмента поиск решений находим значение целевой функции

Значение целевой функции в  точке В (2;3) равно:

Ответ: чтобы обеспечить максимальную полезность корма с минимальными затратами следует взять  2 единицы корма I вида и 3 единицы корма II вида.

Задача 2

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования

2.8. На основании информации, приведенной в таблице, решается задача оптимального использования ресурсов на максимум выручки от реализации готовой продукции.

Требуется:

1.  Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
2.  Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
3.  Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
4.  На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

•   проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
•   определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запас сырья I вида увеличить на 5 единиц, а II  вида – уменьшить на 5 единиц;
•  оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 7 у.е, если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 единицы соответственно.

Решение

1)Прямая оптимизационная задача имеет вид:

ƒ(x) =3X1+2X2+5X3→ max 

при ограничениях

 X1+ 2X2+X3≤430

3X1+2X3≤460

 X1+4X2 ≤420

X1, X2, X3 ≥0.

При помощи пакета MS Excel  с использованием инструмента поиск решений находим значение целевой функции

        Xопт= (0; 100; 230)

В оптимальный план вошел выпуск 100 изделий II вида и 230 изделий III вида.

2) Двойственная задача имеет вид:

g(y)=430у1+460у2+420у3 →min

при ограничениях

у1 + 3у2 + у3 ≥ 3;

2у1 + 4у3 ≥ 2;

у1 + 2у2  ≥ 5;

у1, у2, у3 ≥ 0.            

у1,у2,у3 – двойственные оценки расходов ресурсов на единицу продукции

Проверим является ли план оптимальным:

Y = (1; 2;0);

g(y)= 430у1+460у2+420у3 = 4301+4602 = 1350ден. единиц

f(x) = 1350 ден. единиц

план оптимален: g(y)= f(x)

3) Нулевые значения в оптимальном плане означает, что:

– выпуск изделий I вида нерентабелен

– дефицитными являются I и II вид сырья, т.к. y1 и y2 > 0;

4) В ходе исследования выяснилось, что остатки сырья III вида – 20 единиц;

Определим, как изменятся выручка и план выпуска продукции, если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II  вида уменьшить на 5 единиц

Если запасы сырья I вида увеличить на 5 единиц, а запасы сырья II  вида уменьшить на 5 единиц, то прибыль уменьшается на 1345-1350 = – 5 единиц.

Оценка целесообразности включения в план выпуска четвертого изделия.

Выпуск четвертого изделия нерентабелен, т.к. затраты на его производство не окупаются.

Задача 4. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) =20; 27; 30; 41; 45; 51; 51; 55; 61.

Требуется:  

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.  

2) Построить линейную модель  =а + bt , параметры которой оценить МНК ( – расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели  (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1) Проверим наличие аномальных наблюдений:

Аномальных наблюдений нет.

Подставим получившееся значение в исследуемый ряд:

tср=  = 5;     b =  = 5;     a = – b×tср = 42,3 – 5×5 = 17,3333;

                                                   – модель 

В дальнейшем для облегчения расчётов использовался пакет MS Excel.

I.  Проверка гипотезы о равенстве нулю математического ожидания остаточной компоненты. М [E] = 0;

=  ≈ -0,0033;

σε = = = 3,0859;

критерий Стьюдента t*(0,05) = 1,86;         t =  = = −0,032;

т.к. |t| ≤ t*, среднее значение можно считать равным нулю.

II. Число поворотных точек Р = 5 (Р>2), остаточная компонента является случайной.

III. Прверка гипотезы о независимости остатков.

d =  =  = 1,386;

1,36 < d < 2 => уровни независимы;

IV. Оценка нормального распределения.

– нормированный размах      R = Εmax – Εmin= 3,67-(-2,33) = 6;

S = σε=3,0859;

= = 2,31; не є 2,7÷3,7 ,то => остатки распределены ненормально;

Т.к. все 4 гипотезы выполнились, то модель можно считать полностью адекватной исследуемого процесса.

V. Оценка точности.

Найдем среднюю относительную ошибку расчета.

Δср=== 8,9 %; => точность приемлемая

VI. Прогнозирование.

1. Точечный прогноз, используя экстраполяцию.

=42,3 + 5t

Найдем прогноз на две недели вперед:

для t =10 = 42,3 + 5×10 = 92,3;       

для t =11 = 42,3 + 5×11 = 97,3;       это ожидаемые значения спроса;

2. Найдем возможные отклонения от спрогнозированных значений, т.е. ширину доверительного интервала:

uk = × Sε×;

если Р = 70 %, то =1,13;

Sε = = = 2,78; 

для t =10 k =1  u1 = 1,13×2,78×= 4,5;

для t =11 k =2  u1 = 1,13×2,78×= 4,7;

11