Из 4 видов кормов необходимо составить рацион в состав которого
Пример №1. Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20 000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу.
Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500г = 0.5 кг.
Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определённым требованиям по питательности.
Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.
В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ в каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента. Смесь должна содержать:
- не менее 0.8% кальция (от общего веса смеси)
- не менее 22% белка (от общего веса смеси)
- не более 5% клетчатки (от общего веса смеси )
Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.
| Ингредиент | Содержание питательных веществ (кг/ингредиента) | Стоимость (руб./кг) | ||
| Кальций | Белок | Клетчатка | ||
| Известняк Зерно Соевые бобы | 0.38 0.001 0.002 | – 0.09 0.5 | – 0.02 0.08 | 0.04 0.15 0.40 |
Математическая формулировка задачи. Введём следующие обозначения:
X 1 – содержание известняка в смеси (кг);
Х2 – содержание зерна в смеси (кг);
Х3 – содержание соевых бобов в смеси (кг);
Общий вес смеси, еженедельно расходуемый на кормление цыплят: 20 000 х 0.5 = 10 000 кг.
Ограничения, связанные с содержанием кальция, белка и клетчатки в кормовом рационе, имеют вид:
0.38X1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 0.008 х 10 000,
0.09Х2 + 0.50Х3 ≥ 0.22 х 10 000,
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 0.05 х 10 000.
Окончательный вид математической формулировки задачи:
min f(X) = 0.04 x1 + 0.15Х2 +0,40Х3
при ограничениях
Х1+Х2+Х3= 10 000
0.38Х1 + 0.001Х2 + 0.002Х3 ≥ 80
0.09Х2+ 0.50Х3 ≥ 2200
0.02Х2+ 0.08Х3 ≤ 500
Xj > 0, j = 1, 2, 3.
Перейти к решению симплекс-методом
Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях)
Пример №1. Имеется два вида продукции П1 и П2, содержащие питательные вещества S1, S2, S3, S4 (жиры, белки, углеводы, витамины). Содержание числа единиц питательных веществ в единице каждого вида продукции и необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.
Таблица 2
Питательные вещества | Число единиц питательных веществ в единице продукции | Необходимый минимум питательных веществ | |
| П1 | П2 | ||
| S1 | 1 | 2 | 10 |
| S2 | 3 | 2 | 8 |
| S3 | 2 | 1 | 9 |
| S4 | 2 | 2 | 11 |
Стоимость единицы продукции П1 и П2 соответственно равна 3 и 4 д.е.
Решение. Обозначим через х1 и х2 – количество продукции П1 и П2, входящей в дневной рацион. Тогда общая стоимость рациона составит (д.е.)
F = 3×1 + 4×2. (5)
С учетом необходимого минимума питательных веществ составим систему ограничений. Рацион включает (x1 + 2×2) единиц питательного вещества S1, (3×1 + 2×2) единиц питательного вещества S2, (2×1 + x2) единиц питательного вещества S3 и (2×1 + 2×2) единиц питательного вещества S4. Так как содержание питательных веществ S1, S2, S3, S4 в рационе должно быть не менее 10, 8, 9, 11 единиц, соответственно, то получим систему ограничений неравенств:
x1+2×2 ≥ 10 (6)
3×1+2×2 ≥ 8
2×1+x2 ≥ 9
2×1+2×2 ≥ 11
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Итак, экономико-математическая модель задачи: составить дневной рацион , удовлетворяющий системе ограничений (6), при котором функция (5) принимает минимальное значение.
Сформулируем данную задачу в общей постановке.
Обозначим через xj (j = 1, 2,…, n) – количество единиц j-го продукта в дневном рационе. В рационе используется n видов продуктов. Каждый продукт содержит m питательных веществ в количестве не менее bi (i = 1,2,…,m) единиц, aij – число единиц питательного вещества si в единице продукта j-го вида. Известна стоимость cj единицы j-го продукта. Необходимо составить рацион нужной питательности при минимальных затратах на него.
Экономико-математическая модель примет вид:
F=c1x1+c2x2+…+cnxn→(min) (7)
(8)
Замечание 1. Целевую функцию (7) и систему ограничений неравенств можно записать, используя знак ∑ (суммы).
(9)
(10)
Замечание 2. В задаче составления рациона (диеты, кормовой смеси) могут использоваться ограничения не только по необходимому минимуму питательных веществ, но и по минимальному общему весу смеси.
Например. Некоторая фирма имеет возможность купить n различных видов сырья и приготавливать различные виды смесей (продуктов). Каждый вид сырья содержит разное количество питательных веществ. Установлено, что продукция должна удовлетворять некоторым минимальным требованиям с точки зрения питательности (полезности). Необходимо определить количество каждого j-го вида сырья, образующего смесь минимальной стоимости при соблюдении требований к общему расходу смеси и её питательность.
Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:
,
при ограничениях: на общий расход смеси
на питательность смеси
на не отрицательность переменных
xj≥0, j=1,2,…n,
где xj – количество j-го сырья в смеси;
n – количество видов сырья;
m – количество питательных веществ;
aij – количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице j-го вида сырья;
b1 – минимальное количество i-го питательного вещества, содержащегося в единице смеси;
cj – стоимость единицы сырья j;
q – минимальный общий вид смеси.
Пример №3. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова – не меньше 15%, сурьмы – не меньше 15%, свинца – около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:
| Элементы | Сплав | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| Олово | 12 | 20 | 12 | 20 |
| Сурьма | 12 | 18 | 18 | 14 |
| Свинец | 76 | 62 | 70 | 66 |
| Цена на 1 кг | 3,5 | 5,2 | 4,0 | 4,6 |
Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.
Решение
Составим экономико-математическую модель задачи.
Обозначим через
x1 – количество сплава 1, кг
x2 – количество сплава 2, кг
x3 – количество сплава 3, кг
x4 – количество сплава 4, кг
Система ограничений по содержанию
12×1 + 20×2 + 12×3 + 20×4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)
12×1 + 18×2 + 18×3 + 14×4 ≥ 15(x1 + x2 + x3 + x4)
76×1 + 62×2 + 70×3 + 66×4 = 70(x1 + x2 + x3 + x4)
Ограничение по количеству
x1 + x2 + x3 + x4 = 1 (кг)
Целевая функция
3,5×1 + 5,2×2 + 4×3 + 4,6×4 → min
Ответ: x1 = 0,25; x2 = 0; x3 = 0,375; x4 = 0,375 (решение можно получить через калькулятор или средствами Excel).
Пример №4. Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее 63 усл.ед. белков, не менее 147 усл.ед. жиров и не менее 126 усл.ед. углеводов. Для простоты допустим, что имеется всего два вида продуктов и ; стоимость единицы каждого из них равна соответственно 12 и 9 ден.ед. Содержание названных питательных веществ в различных продуктах неодинаково. Предположим, что в единице продукта содержится 9 усл.ед. белков, 7 усл.ед. жиров 9 усл.ед. углеводов; а в единице продукта содержится соответственно 3, 21, 10 усл.ед. тех же питательных веществ. Требуется:
- составить экономико-математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов и суточную диету, которая с одной стороны содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимально научно обоснованных норм и вместе с тем требовала бы минимальных затрат;
- решить задачу графическим способом.
Решение.
x1 – продукт 1, x2 – продукт 2,
Целевая функция: 12×1+9×2 → min
Система ограничений:
9×1+3×2 ≥ 63
7×1+21×2 ≥ 147
9×1+10×2 ≥ 126
Задача о смесях
Постановка задачи: N ингредиентов – y1, y2, y3, y4. В результате смешивания этих ингредиентов в пропорциях g11:g12:g13:g14, g21:g22:g23:g24, g31:g32:g33:g34 и g41:g42:g43:g44 получают смесь n сортов x1, x2, x3, x4. Цена его реализации соответственно s1, s2, s3, s4.
Экономико-математическая модель задачи
Компоненты | Сорта | Объем ресурсов | |||
x1 | x2 | x3 | x4 | ||
N1 | g11/Σg1i | g21/Σg2i | g31/Σg3i | g41/Σg4i | y1 |
N2 | g12/Σg1i | g22/Σg2i | g32/Σg3i | g42/Σg4i | y2 |
N3 | g13/Σg1i | g23/Σg2i | g33/Σg3i | g43/Σg4i | y3 |
N4 | g14/Σg1i | g24/Σg2i | g34/Σg3i | g44/Σg4i | y4 |
Цена | s1 | s2 | s3 | s4 | |
Σg1i = g11 + g12 + g13 + g14
Целевая функция
F(x) = s1x1 + s2x2 + s3x3 + s4x4 → max
Ограничения
x1g11/Σg1i + x2g21/Σg2i + x3g31/Σg3i + x4g41/Σg4i ≤ y1
x1g12/Σg1i + x2g22/Σg2i + x3g32/Σg3i + x4g42/Σg4i ≤ y2
x1g13/Σg1i + x2g23/Σg2i + x3g33/Σg3i + x4g43/Σg4i ≤ y3
x1g14/Σg1i + x2g24/Σg2i + x3g34/Σg3i + x4g44/Σg4i ≤ y4
Перейти к составлению условий онлайн
Пример. Завод выпускает 4 вида полуфабрикатов Bi в количествах: В1 – 400 т, В2 – 250 т, В3 – 350 т и В4 – 100 т.
В результате смешения этих компонентов получают 3 вида продукции Aj. Пропорции смешиваемых полуфабрикатов следующие: для А1 – 2:3:5:2, для А2 – 3:1:2:1, для A3 – 2:2:1:3. Стоимость 1 т продукции Aj составляет: А1 – 12 руб., А2 – 10 руб., А3 – 15 руб.
Составить оптимальный план выпуска продукции по критерию:
а) максимальной стоимости выпущенной продукции;
б) максимального использования полуфабрикатов
Задача об оптимальном составе бетонной смеси
Для приготовления b0 кг бетонной смеси c заданными свойствами используются три вещества Аj (j = 1, 2, 3). В xj кг каждого вещества Аj содержится aijxj кг химического элемента Bi (i = 1, 2). Содержание элемента Bi в смеси должно находиться в пределах от bi1 до bi2 кг. Стоимость 1 кг каждого вещества Aj составляет cj руб.
Требуется определить такой состав для приготовления бетонной смеси, при котором общая стоимость израсходованных веществ была бы минимальной.
| A1 | A2 | A3 | Нижняя граница | Верхняя граница |
| a11 | a12 | a13 | b1 | b1 |
| a21 | a22 | a23 | b2 | b2 |
| c1 | c2 | c3 |
Источник
Задание№1(9)
Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0, 3% и с долей зольных примесей не более 3,25%. Завод закупает 3 сорта угля А, В, С с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты А, В, С, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену?
| Сорт угля | Содержание(%) | Цена 1т (руб.) |
| Фосфора | Золы | |
| А | 0,06 | 2,0 |
| В | 0,04 | 4,0 |
| С | 0,02 | 3,0 |
Решение:
Введем следующие обозначения:
Х1 – содержание угля А в смеси;
Х2 – содержание угля Вв смеси;
Х3 – содержание угля С в смеси;
Ограничения имеют вид:
Окончательный вид:
Приведем к каноническому виду:
Решим симплекс-методом:
Задание№2(9)
Предприятие производит три вида продукции А1, А2, А3, используя сырье двух видов: В1 и В2. Известны затраты сырья i-го вида на единицу изделия j-го вида aij, количество сырья каждого вида bi (i=1,2), а так же прибыль полученная от единицы изделия j-го вида сj (j=1,2,3).
(1)Сколько изделий каждого вида необходимо произвести, что бы получить:
1) max прибыли;
2) max товарной продукции.
| А1 | А2 | А3 | Сырье | |
| В1 | ||||
| В2 | ||||
| Прибыль |
Найти максимум прибыли?
Приводим к каноническому виду:
2) Найти максимум товарной продукции:
Приведем к каноническому виду:
(2)Решить задачу при дополнительных условиях: предприятия платят за хранение единицы сырья В1 и В2 соответственно 0,1 и 0,3 денежных единицы.
1) Найти maxприбыли?
Приведем к каноническому виду:
2) Найти MAXпродукции:
Приведем к каноническому виду:
(3) Решить задачу при условии, что задан план выпуска изделий. При решении учитывать возможность перевыполнения плана.
1) Найти max прибыли:
Приведем к каноническому виду:
2) Найти maxпродукции:
Приведем к каноническому виду:
Задание№3
Предприятию необходимо выпустить по плану продуции А1 – 500 единиц, А2 – 300, А3 – 450. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах. Полезное затрачиваемое время каждой машины 5000 мин. Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальными, если задана матрица затрат. Учитывать возможность перевыполнение плана.
Решение:
Или
Т.к. компаненты псевдоплана являются неотрицательными, то является оптимальным опорным планом ЗЛП.
Задание№4(9)
Из четырех видов кормов необходимо составить рацион, в состав которого должно входить не менее В1 единиц вещества А, В2 единиц вещества В и В3 единиц вещества С. Количество единиц вещества, содержащегося в одном килограмме каждого вида, указано в таблице. В ней же приведена цена одного кг. корма каждого вида.
1) Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питательных веществ и имеющих минимальную стоимость.
| Вещество | Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг корма каждого вида. | |
| А | 10,5 | |
| В | – | – |
| С | – | |
| Цена 1 кг корма (руб.) |
1)Составить рацион, содержащий не менее нужного количества указанных питательных веществ и имеющих минимальную стоимость.
| А | 10,5 | |
| В | – | – |
| С | – | |
Прямая задача
Двойственная задача
2) Определите, все ли виды кормов входят в рацион, ценность дополнительной единицы каждого питательного вещества и его приоритете при решение задач уменьшения стоимости рациона.
В рацион входят только два вида вещества В и С. При увеличение вещества В на единицу вещества, то ценность увеличивается на 3/2. При увеличение вещества С на единицу вещества, то ценность увеличится на 2,4 единицы. Вещества В и С приоритетные, а вещество С не приоритетные.
3) Определите суммарную стоимостную оценку питательных веществ в единицы каждого корма, использование какого вида корма нерентабельно.
Т.к. основные переменные Х1, Х3 равны 0, то использование этих кормов нерентабельно.
4) Содержание, какого из питательных веществ превышает заданный минимальный уровень и насколько?
Вещество А превышает заданный минимальный уровень на 721/4 единицы.
5) Определите возможное максимальное уменьшение содержание каждого из питательных веществ в рационе, при котором структура рациона остается без изменений.
Пусть содержание 721/4+
Перейдем к пределам изменения А, получим
6) На сколько уменьшится стоимость рациона и используемое количество кормов при снижение минимального уровня потребления питательных веществ В до Z единиц.
7) Определите интервал изменения цен на каждый вид корма, при котором сохраняется структура рациона.
Полученное решение останется оптимальным при условие , то есть
решая эту систему получим
Это условие определяет пределы изменения, , при которых сохраняется структура оптимального плана. Если от пределов изменения приращения перейдем к изменениям самой величины С1, то получим: , таким образом, при изменение С1 в пределах при этом
изменяется в пределах . Если от пределов перейдем к изменениям самой величины С2, то получим: , таким образом, при изменение С2 в пределах при этом
8) Возможно ли сделать выгодным использования корма, не вошедшего в рацион.
9) На сколько увеличится стоимость рациона при принудительном включении в рацион 1 кг нерентабельного вида корма.
При принудительном включение в рацион одного килограмма корма I, то стоимость рациона увеличится на 32 рубля.
При принудительном включение в рацион одного килограмма корма III, то стоимость рациона увеличится на 466 рубля.
При принудительном включение в рацион по одному килограмму корма I и III, то стоимость рациона увеличится на 498 рубля.
10) На сколько нужно снизить минимальный уровень потребления каждого из питательных веществ, чтобы уменьшить стоимость рациона на 10%?
Задача№5(9)
Решить задачи из домашнего задания 3 двухэтапным симплекс-методом без учета возможности перевыполнения плана.
Задание№3
Предприятию необходимо выпустить по плану продуции А1 – 500 единиц, А2 – 300, А3 – 450. Каждый вид изделия может производиться на двух машинах. Полезное затрачиваемое время каждой машины 5000 мин. Как распределить работу машин, чтобы общие затраты времени на выполнение плана были минимальными, если задана матрица затрат. Учитывать возможность перевыполнение плана.”
А1=500 А2=300 А3=450
Канонический вид:
Т.к. не является К матрицей, то вводим 3 искусственные переменные U1, U2, U3 в 3-е, 4-е и 5-е уравнения.
ВЗ имеет вид:
Источник
Довольно обширный класс задач математического программирования образуют так называемые задачи на составление смесей или задачи на использование заменителей. Задача подобного рода возникает в случае необходимости смешивания различных компонент со сходными свойствами с целью создания смеси, отвечающей определенным требованиям, или при необходимости замены в смеси одних компонент другими. Характерный пример такой задачи — составление наиболее экономичных смесей горючего для двигателей разных типов. Известно, что выпускаемые марки бензина различаются теплотворной способностью, температурой воспламенения, степенью очистки и т.п. Возникает задача составления наиболее дешевой смеси из различных марок бензина при условии, чтобы определенные количественные показатели смеси были выше (или ниже) заранее установленных величин. Аналогичной является задача на составление наиболее дешевой смеси различных сортов угля для нагрева паровых котлов и т.п.
Не менее важными являются задачи составления экономной шихты для выплавки чугуна и стали. Так, для получения легированной стали необходимо использовать шихту определенного химического состава. Многие ингредиенты шихты весьма дорогостоящие, и вместе с тем в ее состав входят малоценные материалы — чугун, лом, отходы с определенным известным содержанием присадок. Возникает задача выбора шихты минимальной стоимости, в состав которой должны входить в заданных количествах необходимые химические вещества.
К задачам на составление смесей относится также определенный тип задач на использование заменителей. Например, проблема замены одних средств производства другими с целью достижения оптимального эффекта производства.
Задачи на смеси приходится решать при определении рациональных норм потребления продуктов питания и в связи с этим при составлении перспективного плана развития пищевой промышленности или при планировании централизованного снабжения продуктами питания детских учреждений, спортивных и оздоровительных лагерей, больниц, войсковых частей и т.д. Встречаются подобные задачи и в сельскохозяйственной практике, например, при выборе оптимального рациона для откорма скота. В простейшей постановке эта задача формулируется следующим образом.
Пусть хозяйство располагает п видами кормов (сено, силос, концентраты и т.д.), каждый из которых содержит в различных пропорциях m видов питательных веществ (белки, кальций, фосфор, витамины и др.). Известно, что в единице корма j-го (j=1,…, n). вида содержится аij единиц i-го питательного вещества (i=1,…, m). Минимальная суточная потребность в i-ом питательном веществе составляет biединиц, себестоимость производства единицы корма j-го вида равна cj, а выделяемый суточный объем ограничен величиной aj. Требуется выбрать рацион — набор и количество кормов — так, чтобы количество каждого питательного вещества было не меньше требуемого, а суммарная стоимость рациона была минимальной.
Построим математическую модель данной задачи.
Обозначим через xj (j=1, …n) количество единиц корма j-го вида, включаемого в суточный рацион. Тогда общее количество i-го питательного вещества, содержащегося в рационе (х1; …; хn), выразится суммой:
.
Эта сумма не должна быть меньше нужного минимума bi по всем видам питательных веществ, что математически выразится следующей системой неравенств:
.
С другой стороны, суточное потребление каждого корма ограничено имеющимися запасами ai. Отсюда дополнительные условия на компоненты рациона: .
Суммарная стоимость кормов, составляющих суточный рацион, определится выражением:
Таким образом, оптимальным рационом будет такой набор (х1; …; хn) кормов, который обращает в минимум линейную функцию f при соблюдении ограничений, а математическая модель задачи о рационе будет иметь вид:
Если учесть обусловленное зоотехническими требованиями определенное соотношение в рационе объемов сочных и грубых кормов, то придется дополнить модель соответствующими ограничениями. Чтобы обеспечить разнообразие рациона, следует иметь в наличии не менее а0j единиц j-го вида корма, а в модель задачи придется включить условия:
.
Иногда приходится учитывать ограничения сверху (величиной ) на потребление некоторых питательных веществ. Тогда необходима модификация одного из условия системы ограничений модели, а именно следует рассматривать ограничения вида:
.
В итоге математическая модель задачи о рационе примет обобщенный вид:
Пример 2.3 Задача о рационе
При откорме каждое животное ежедневно должно получить не менее 60 единиц питательного вещества А, не менее 50 ед. вещества В. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов кормов приведено в таблице:
| Тип вещества | Кол-во единиц питательных веществ в 1 кг корма вида | |
| І | ІІ | ІІІ |
| А | ||
| В |
Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма 1 го вида составляет 19 грн., корма 2 го вида – 24 грн., корма 3 го вида – 25 грн.
Построим математическую модель задачи. Пусть Хi – количество корма iго вида, включаемого в дневной рацион животных, i = 1, 2, 3.
Целевая функция задачи выражает суммарные денежные затраты на составление рациона, которые должны быть минимальными:
F = 19X1 + 24X2 + 25X3 ® min
На переменные задачи накладываются ограничения на количественное содержание питательных веществ А и В в дневном рационе животного.
для вещества А: X1 + 3X2 + 4X3 ³ 60,
для вещества В: 2X1 + 4X2 + 2X3 ³ 50.
Левая часть каждого из ограничений формально выражает то количество единиц соответствующего питательного вещества, которое животное фактически получит в результате составления некоторого рациона Х=(Х1, Х2, Х3). Правая же часть того же ограничения – это требуемое количество единиц соответствующего питательного вещества. Учитывая требование условия задачи: животное должно получить необходимое количество единиц питательных веществ, выбираем знак неравенств “³”.
Кроме того, значения переменных Хi, i = 1, 2, 3 , не могут принимать отрицательные значения, т.е. Хi ³ 0, i = 1, 2, 3.
Таким образом, математическая модель исходной задачи будет иметь вид:
Источник