Три синих попугая капитана флинта съедают 3 кг корма за 3 дня
1.(Исход)
Человек прожил на свете 44 года, 44 месяца, 44 недели, 44 дня и 44 часа. Сколько ему лет?
2.(Исход)
Найдите все двузначные числа, у которых сумма цифр на 3 больше наибольшей цифры и в 3 раза больше наименьшей цифры.
3.(Исход)
Точка M – середина стороны BC квадрата ABCD. Площадь треугольника ABM равна 7 см2. Найдите площадь квадрата ABCD.
4.(Исход)
Маша пробежала 1 км со скоростью 4 м/с. С какой скоростью пробежал эту дистанцию Вася, если он стартовал на 25 секунд позже Маши, а финишировал на 25 секунд раньше? (скорость Васи постоянна)
5.(Исход)
В компании рыцарей и лжецов каждый сказал каждому из остальных: «Ты – лжец!» Какое наибольшее число людей могло быть в этой компании? (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут.)
6.(Исход)
Равносторонний треугольник со стороной 7 см разрезали на маленькие равносторонние треугольники со стороной 1 см. Сколько получилось треугольников?
7.(Исход)
Химическая реакция длилась 4 часа. Сколько раз за это время минутная стрелка могла обогнать часовую?
8.(Исход)
На сколько частей 3 прямые могут делить плоскость?
9.(Исход)
Какое наименьшее число детей может быть в семье, если у каждого ребенка есть хотя бы одна сестра и хотя бы один брат?
10.(Исход)
Сумма возрастов трех друзей 29 лет. Сколько лет им будет вместе через 5 лет?
11.(Исход)
У Саши есть 4 карточки с цифрами 1, 2, 3 и 4. Он составляет из них трехзначные числа. Сколько различных чисел, делящихся на 6, он может получить?
12.(Исход)
Копия скульптуры в половину роста весит 7 тонн. Сколько весит скульптура из того же материала в полный рост?
13.(Исход)
Найдите наименьшее натуральное число, имеющее ровно 6 натуральных делителей.
14.(Исход)
Разрежьте квадрат 6×6 клеток на прямоугольники 1×5 и квадраты 2×2.
1. (Зачёт)
Приведите пример десятизначного числа, в котором все цифры различны, и любые две соседние цифры отличаются не менее чем на 3.
2. (Зачёт)
В треугольнике с целыми сторонами длины двух сторон равны 2 см и 5 см. Чему может быть равна третья сторона?
3. (Зачёт)
Сколько существует различных положений доминошки 1×2 по линиям сетки на доске 8×8?
4. (Зачёт)
Куб с ребром 1 м разрезан на кубики с длиной ребра 20 см. Сколько таких кубиков находятся на поверхности большого куба (т. е. не скрыты целиком другими кубиками)?
5. (Зачёт)
Таракан Валентин заявил, что умеет бегать со скоростью 200 м/мин. На самом деле он все перепутал, так как посчитал, что в метре 60 см, а в минуте 100 сек. С какой скоростью в действительности бегает Валентин?
6. (Зачёт)
Какое наибольшее число тупых углов могут образовать на плоскости 6 лучей, выходящих из одной точки?
7. (Зачёт)
Кем приходится мне сестра брата моей мамы? (брат и сестра – родные)
8. (Зачёт)
Будильник отстает на 3 минуты в час. Сейчас он показывает 11 час. 41 мин. Через сколько минут он покажет 12 часов?
9. (Зачёт)
На прямой расположены точки A, B, C. Известно, что AB=7 см, BC=5 см. Найдите расстояние между серединами отрезков AB и BC.
10. (Зачёт)
Мама купила своим детям конфет. Если она раздаст им по две конфеты, то три конфеты останутся, а если захочет раздать по три конфеты, то двух конфет ей не хватит. Сколько у мамы конфет?
11. (Зачёт)
На 100 карточках записаны числа от 1 до 100. Какое наименьшее количество карточек достаточно взять (не глядя), чтобы среди них наверняка оказалась карточка с нечетным числом?
12. (Зачёт)
Сумма двух углов треугольника равна 100°, а сумма двух других углов – 110°. Найдите углы треугольника.
13. (Зачёт)
Три синих попугая капитана Флинта съедают 3 кг корма за 3 дня, пять зеленых попугаев – 5 кг корма за 5 дней, а семь оранжевых – 7 кг корма за 7 дней. Какие попугаи самые прожорливые?
14. (Зачёт)
В трехзначном числе все цифры различны, а их сумма равна 24. Чему равно произведение цифр этого числа?
15. (Зачёт)
Какое наибольшее число точек самопересечения может иметь замкнутая ломаная, состоящая из 5 звеньев?
16. (Зачёт)
Арбуз на кг тяжелее, чем арбуза. Сколько весит арбуз?
17. (Зачёт)
Шахматист сыграл 10 партий и набрал 7 очков (победа – 1 очко, ничья – ½ очка, поражение – 0 очков). На сколько побед у него больше, чем поражений?
18. (Зачёт)
Какое наибольшее число диагоналей пятиугольника могут целиком лежать вне этого пятиугольника?
1. 48 лет 1. Проверьте внимательно пример!
2. 36 и 63 2. 4, 5 или 6 см
5. 2 человека 5. 72 м/мин
6. 49 треугольников 6. 12 углов
7. 3 или 4 раза 7. мама или тетя
8. на 4, 6 или 7 частей 8. через 20 мин
10. 44 года 10. 13 конфет
11. 6 чисел 11. 51 карточку
12. 56 тонн 12. (80°, 70°, 30°)
13. 12 13. синие попугаи
14. Проверьте внимательно пример! 14. 504
15. 5 точек самопересечения
16. 4 кг
17. на 4
18. 3 диагонали
Источник
Муниципальный этап олимпиады школьников
по математике учебный год
5 класс
Максимальный балл – 35
1. Решите задачу (7 баллов)
На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, если за него просят 100 дукатов?
2. Решите задачу (7 баллов)
Три синих попугая капитана Флинта съедают 3кг. корма за три дня, пять зеленых попугаев – 5кг. корма за пять дней, а семь оранжевых – 7кг. корма за семь дней. Какие попугаи самые прожорливые?
3. Решите задачу (7 баллов)
Крепость имеет вид семиугольника, в каждой вершине которого находится сторожевая башня. Каждую из семи стен крепости охраняют стражники в башнях, находящихся в концах этой стены. Какое наименьшее количество стражников нужно разместить в башнях, чтобы каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками?
4. Решите задачу (7 баллов)
Пират испортил карту сокровищ, имеющую форму квадрата. Он вырезал из неё восьмиугольник, а 5 отрезанных многоугольников выбросил. Оставшейся восьмиугольник имеет стороны равной длины, и внутренние углы равной величины.
а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ?
б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников.
5. Решите задачу (7 баллов)
Робинзон попал на необитаемый остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день, вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал на остров.
Муниципальный этап олимпиады школьников
по математике учебный год
5 класс
Максимальный балл – 35
1. Решите задачу (7 баллов)
На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, если за него просят 100 дукатов?
Ответ: 5 пиастров
2. Решите задачу (7 баллов)
Три синих попугая капитана Флинта съедают 3кг. корма за три дня, пять зеленых попугаев – 5кг. корма за пять дней, а семь оранжевых – 7кг. корма за семь дней. Какие попугаи самые прожорливые?
Ответ: Синие попугаи самые прожорливые.
Решение. За один день три синих съедают – 1кг. корма, пять зеленых и семь оранжевых тоже съедают в день по 1кг корма.
3. Решите задачу (7 баллов)
Крепость имеет вид семиугольника, в каждой вершине которого находится сторожевая башня. Каждую из семи стен крепости охраняют стражники в башнях, находящихся в концах этой стены. Какое наименьшее количество стражников нужно разместить в башнях, чтобы каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками?
Ответ: 25.
Решение и комментарии по оцениванию. Решение состоит из а) примера б) оценки.
а) Пример расстановки изображен на рисунке – оценивается в 3 балла
б) Занумеруем башни подряд 1, 2, 3,…,7.
Тогда в первой башне находится х1 стражник, во второй – х2 стражник, … в седьмой – х7 стражник. Каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками, значит,
х1+х2 <7, х2+х3 >7 и т. д. Складывая эти неравенства, получим: 2(х1+х2+…+х7) > 49, отсюда (х1+х2+…+х7) > 49:2, поскольку число стражников целое, то оно не может быть меньше 25.
4. Решите задачу (7 баллов)
Пират испортил карту сокровищ, имеющую форму квадрата. Он вырезал из неё восьмиугольник, а 5 отрезанных многоугольников выбросил. Оставшейся восьмиугольник имеет стороны равной длины, и внутренние углы равной величины.
а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ? (3 балла).
б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников. (за каждый пример 2 балла).
Решение и комментарии по оцениванию. а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ? (3 балла).
б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников. (за каждый приведенный пример 2 балла).
Так как оставшийся кусок имеет форму правильного восьмиугольника, а отрезанных кусков – 5, то они могут иметь не больше одной общей стороны со стороной восьмиугольника. Значит, минимум три стороны восьмиугольника принадлежат квадрату. Поэтому форма искомой карты сокровищ будет квадрат со стороной, равной расстоянию между противоположными сторонами восьмиугольника. Отрезанные многоугольнику будут: 1) 5 треугольников; 2) 4 треугольника и один четырехугольник.
5. Решите задачу (7 баллов)
Робинзон попал на необитаемый остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день, вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал на остров.
Ответ: среда
Решение:
В течение недели Робинзон вырежет на доске по две буквы «п» (понедельник, пятница), «в» (вторник, воскресенье), «с» (среда, суббота) и одну букву «ч» (четверг). Так как 2013=287·7+4=2009+4, то через 2009 дней будет вырезано по 574 буквы «п», «в», «с» и 287букв «ч». Через четыре дня количества букв оказались различными. Для этого нужно, чтобы в эти четыре дня одна из букв «п», «в», «с» появилась дважды, одна – один раз и одна не появлялась. Значит, четвертой появившейся буквой должна быть «ч». Буквы идут в следующем порядке: «п», «в», «с», «ч», «п», «с», «в», «п», «в», «с» …
Таким образом, возможна лишь ситуация: «с», «ч», «п». Это означает, что Робинзон попал на остров в среду.
Муниципальный этап олимпиады школьников
по математике учебный год
6 класс
Максимальный балл – 35
1. Решите задачу (7 баллов)
Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы:7, 8, 9, 10, 11 и 12 кг. Найдите общую массу четырех кошек.
2. Решите задачу (7 баллов)
Яйцо варится 9 минут. Как отсчитать это время с помощью двух песочных часов по 5 минут и 7 минут?
3. Решите задачу (7 баллов)
По кольцевой дороге курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами 12 трамваев. Сколько трамваев надо добавит, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились бы на одну пятую?
4. Решите задачу (7 баллов)
Все внутренние углы выпуклого шестиугольника равны.
Длина некоторых сторон указана на рисунке.
Найдите длину сторон AF и BC.
5. Решите задачу (7 баллов)
В многосерийном фильме 44 серии. Фильм показывают в понедельник, вторник, среду и четверг, по две серии в день. В какой день недели будет показана последняя серия? Запиши в ответ название дня.
Муниципальный этап олимпиады школьников
по математике учебный год
6 класс
Максимальный балл – 35
1. Решите задачу (7 баллов)
Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы:7, 8, 9, 10, 11 и 12 кг. Найдите общую массу четырех кошек.
Ответ 19 кг.
Решение. Пронумеруем всех кошек К1, К2, К3 и К4. Составим различные комбинации К1+К2; К1+К3; К1+К4; К2+К3; К2+К4; К3+К4. В сумме получим 3К1+3К2+3К3+3К4= 7+8+9+10+11+12; Значит масса всех кошек 57:3=19кг.
2. Решите задачу (7 баллов)
Яйцо варится 9 минут. Как отсчитать это время с помощью двух песочных часов по 5 минут и 7 минут?
Решение и комментарии по оцениванию. За любой один верный способ – 7 баллов.
1 способ. Одновременно запускаем часы по 5 минут и 7 минут. Через 5 мин. (когда кончится песок в 5 мин. часах) начинаем варить яйцо. Через 2 мин. кончится песок в7 мин. часах; перевернем их. Когда в них опять кончится песок, яйцо будет готово.
2способ. Варить яйцо начинаем одновременно с запуском двух песочных часов по 5 минут и 7 минут. Через 5 минут переворачиваем пяти минутные часы, а еще через 2 минуты (когда семи минутные часы станут пустыми) переворачиваем пяти минутные часы еще раз.
3. Решите задачу (7 баллов)
По кольцевой дороге курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами 12 трамваев. Сколько трамваев надо добавит, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились бы на одну пятую?
Решение. Так как длина интервала обратно пропорциональна числу трамваев, то трамваев должно быть . Значит надо добавить 3 трамвая.
4. Решите задачу (7 баллов)
Все внутренние углы выпуклого шестиугольника равны.
Длина некоторых сторон указана на рисунке.
Найдите длину сторон AF и BC.
Ответ: AF=10, ВС=6
Решение и комментарии по оцениванию.
Исходный шестиугольник достроим до треугольника. Так как сумма всех углов шестиугольника равна 720° и все углы равны, то каждый угол равен 120°. Соответственно, смежные с ними углы равны 60°. Построенный треугольник равносторонний. Приравняв его стороны легко найти неизвестные отрезки AF и BC.
5. Решите задачу (7 баллов)
В многосерийном фильме 44 серии. Фильм показывают в понедельник, вторник, среду и четверг, по две серии в день. В какой день недели будет показана последняя серия? Запиши в ответ название дня.
Решение. Фильм показывают по две серии в день, значит: за первую неделю будет показано – 8 серий, за вторую – 16 серий, за третью – 24 серии и т. д. Становится понятно, что в четверг показывают серии кратные 8. Всего 44 серии, в четверг покажут 40 серию, остается ещё 4 серии, которые покажут в понедельник и вторник. Понятно, что последняя серия будет показана во вторник.
Ответ: вторник
Источник