Три синих попугая съедают 3 кг корма за три дня

Муниципальный этап олимпиады школьников

по математике учебный год

5 класс

Максимальный балл – 35

1. Решите задачу (7 баллов)

На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, если за него просят 100 дукатов?

2. Решите задачу (7 баллов)

Три синих попугая капитана Флинта съедают 3кг. корма за три дня, пять зеленых попугаев – 5кг. корма за пять дней, а семь оранжевых – 7кг. корма за семь дней. Какие попугаи самые прожорливые?

3. Решите задачу (7 баллов)

Крепость имеет вид семиугольника, в каждой вершине которого находится сторожевая башня. Каждую из семи стен крепости охраняют стражники в башнях, находящихся в концах этой стены. Какое наименьшее количество стражников нужно разместить в башнях, чтобы каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками?

4. Решите задачу (7 баллов)

Пират испортил карту сокровищ, имеющую форму квадрата. Он вырезал из неё восьмиугольник, а 5 отрезанных многоугольников выбросил. Оставшейся восьмиугольник имеет стороны равной длины, и внутренние углы равной величины.

а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ?

б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников.

5. Решите задачу (7 баллов)

Робинзон попал на необитаемый остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день, вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал на остров.

Муниципальный этап олимпиады школьников

по математике учебный год

5 класс

Максимальный балл – 35

1. Решите задачу (7 баллов)

На пиратском рынке бочка рома стоит 800 дублонов, или 100 пиастров, а пистолет стоит 100 дублонов, или 250 дукатов. Сколько пиастров нужно заплатить за попугая, если за него просят 100 дукатов?

Ответ: 5 пиастров

2. Решите задачу (7 баллов)

Три синих попугая капитана Флинта съедают 3кг. корма за три дня, пять зеленых попугаев – 5кг. корма за пять дней, а семь оранжевых – 7кг. корма за семь дней. Какие попугаи самые прожорливые?

Ответ: Синие попугаи самые прожорливые.

Решение. За один день три синих съедают – 1кг. корма, пять зеленых и семь оранжевых тоже съедают в день по 1кг корма.

3. Решите задачу (7 баллов)

Крепость имеет вид семиугольника, в каждой вершине которого находится сторожевая башня. Каждую из семи стен крепости охраняют стражники в башнях, находящихся в концах этой стены. Какое наименьшее количество стражников нужно разместить в башнях, чтобы каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками?

Ответ: 25.

Решение и комментарии по оцениванию. Решение состоит из а) примера б) оценки.

а) Пример расстановки изображен на рисунке – оценивается в 3 балла

б) Занумеруем башни подряд 1, 2, 3,…,7.

Тогда в первой башне находится х1 стражник, во второй – х2 стражник, … в седьмой – х7 стражник. Каждая стена охранялась не менее чем семью стражниками, значит,

х1+х2 <7, х2+х3 >7 и т. д. Складывая эти неравенства, получим: 2(х1+х2+…+х7) > 49, отсюда (х1+х2+…+х7) > 49:2, поскольку число стражников целое, то оно не может быть меньше 25.

4. Решите задачу (7 баллов)

Пират испортил карту сокровищ, имеющую форму квадрата. Он вырезал из неё восьмиугольник, а 5 отрезанных многоугольников выбросил. Оставшейся восьмиугольник имеет стороны равной длины, и внутренние углы равной величины.

а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ? (3 балла).

б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников. (за каждый пример 2 балла).

Решение и комментарии по оцениванию. а) Можно ли по этому восьмиугольнику восстановить размеры карты сокровищ? (3 балла).

б) Определите, какую форму могли иметь 5 отрезанных многоугольников. (за каждый приведенный пример 2 балла).

Так как оставшийся кусок имеет форму правильного восьмиугольника, а отрезанных кусков – 5, то они могут иметь не больше одной общей стороны со стороной восьмиугольника. Значит, минимум три стороны восьмиугольника принадлежат квадрату. Поэтому форма искомой карты сокровищ будет квадрат со стороной, равной расстоянию между противоположными сторонами восьмиугольника. Отрезанные многоугольнику будут: 1) 5 треугольников; 2) 4 треугольника и один четырехугольник.

5. Решите задачу (7 баллов)

Робинзон попал на необитаемый остров. Каждый день (начиная с того дня, когда он попал на остров) он вырезал на доске первую букву в названии дня недели на русском языке. На 2013–й день, вырезав букву, он посчитал вырезанные буквы. Оказалось, что разных букв было вырезано разное количество. В ответ запишите день недели, когда Робинзон попал на остров.

Ответ: среда

Решение:

В течение недели Робинзон вырежет на доске по две буквы «п» (понедельник, пятница), «в» (вторник, воскресенье), «с» (среда, суббота) и одну букву «ч» (четверг). Так как 2013=287·7+4=2009+4, то через 2009 дней будет вырезано по 574 буквы «п», «в», «с» и 287букв «ч». Через четыре дня количества букв оказались различными. Для этого нужно, чтобы в эти четыре дня одна из букв «п», «в», «с» появилась дважды, одна – один раз и одна не появлялась. Значит, четвертой появившейся буквой должна быть «ч». Буквы идут в следующем порядке: «п», «в», «с», «ч», «п», «с», «в», «п», «в», «с» …

Таким образом, возможна лишь ситуация: «с», «ч», «п». Это означает, что Робинзон попал на остров в среду.

Муниципальный этап олимпиады школьников

по математике учебный год

6 класс

Максимальный балл – 35

1. Решите задачу (7 баллов)

Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы:7, 8, 9, 10, 11 и 12 кг. Найдите общую массу четырех кошек.

2. Решите задачу (7 баллов)

Яйцо варится 9 минут. Как отсчитать это время с помощью двух песочных часов по 5 минут и 7 минут?

3. Решите задачу (7 баллов)

По кольцевой дороге курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами 12 трамваев. Сколько трамваев надо добавит, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились бы на одну пятую?

4. Решите задачу (7 баллов)

Все внутренние углы выпуклого шестиугольника равны.

Длина некоторых сторон указана на рисунке.

Найдите длину сторон AF и BC.

5. Решите задачу (7 баллов)

В многосерийном фильме 44 серии. Фильм показывают в понедельник, вторник, среду и четверг, по две серии в день. В какой день недели будет показана последняя серия? Запиши в ответ название дня.

Муниципальный этап олимпиады школьников

по математике учебный год

6 класс

Максимальный балл – 35

1. Решите задачу (7 баллов)

Четырех кошек взвесили попарно во всех возможных комбинациях. Получились массы:7, 8, 9, 10, 11 и 12 кг. Найдите общую массу четырех кошек.

Ответ 19 кг.

Решение. Пронумеруем всех кошек К1, К2, К3 и К4. Составим различные комбинации К1+К2; К1+К3; К1+К4; К2+К3; К2+К4; К3+К4. В сумме получим 3К1+3К2+3К3+3К4= 7+8+9+10+11+12; Значит масса всех кошек 57:3=19кг.

2. Решите задачу (7 баллов)

Яйцо варится 9 минут. Как отсчитать это время с помощью двух песочных часов по 5 минут и 7 минут?

Решение и комментарии по оцениванию. За любой один верный способ – 7 баллов.

1 способ. Одновременно запускаем часы по 5 минут и 7 минут. Через 5 мин. (когда кончится песок в 5 мин. часах) начинаем варить яйцо. Через 2 мин. кончится песок в7 мин. часах; перевернем их. Когда в них опять кончится песок, яйцо будет готово.

2способ. Варить яйцо начинаем одновременно с запуском двух песочных часов по 5 минут и 7 минут. Через 5 минут переворачиваем пяти минутные часы, а еще через 2 минуты (когда семи минутные часы станут пустыми) переворачиваем пяти минутные часы еще раз.

3. Решите задачу (7 баллов)

По кольцевой дороге курсируют с одинаковой скоростью и равными интервалами 12 трамваев. Сколько трамваев надо добавит, чтобы при той же скорости интервалы между трамваями уменьшились бы на одну пятую?

Решение. Так как длина интервала обратно пропорциональна числу трамваев, то трамваев должно быть . Значит надо добавить 3 трамвая.

4. Решите задачу (7 баллов)

Все внутренние углы выпуклого шестиугольника равны.

Длина некоторых сторон указана на рисунке.

Найдите длину сторон AF и BC.

Ответ: AF=10, ВС=6

Решение и комментарии по оцениванию.

Исходный шестиугольник достроим до треугольника. Так как сумма всех углов шестиугольника равна 720° и все углы равны, то каждый угол равен 120°. Соответственно, смежные с ними углы равны 60°. Построенный треугольник равносторонний. Приравняв его стороны легко найти неизвестные отрезки AF и BC.

5. Решите задачу (7 баллов)

В многосерийном фильме 44 серии. Фильм показывают в понедельник, вторник, среду и четверг, по две серии в день. В какой день недели будет показана последняя серия? Запиши в ответ название дня.

Решение. Фильм показывают по две серии в день, значит: за первую неделю будет показано – 8 серий, за вторую – 16 серий, за третью – 24 серии и т. д. Становится понятно, что в четверг показывают серии кратные 8. Всего 44 серии, в четверг покажут 40 серию, остается ещё 4 серии, которые покажут в понедельник и вторник. Понятно, что последняя серия будет показана во вторник.

Ответ: вторник