В рационе животных используется два вида кормов животные должны

Вариант № 2.

Задача № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества и не менее 12 единиц питательного вещества . Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одного животного, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы:

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

Решение:

1.  Введем переменные:

– количество корма 1;

– количество корма 2.

2.  Зададим целевую функцию. Задача на минимизацию затрат. Запишем уравнение, описывающее затраты

3.  Ограничения:

Найдем решение сформированной задачи, используя ее геометрическую интерпретацию. Сначала определим область допустимых решений. Для этого в неравенствах системы ограничений знаки неравенств заменим на знаки точных равенств, и найдем соответствующие прямые:

Выразим через

Для построения прямой достаточно двух точек, найдем их координаты:

Эти прямые изображены на рисунке 1. Условие неотрицательности показывает, что искомая область располагается в первой четверти.

Каждая из построенных прямых делит плоскость на две полуплоскости. Координаты точек одной полуплоскости удовлетворяют исходному неравенству, а другой – нет. Чтобы определить искомую полуплоскость, нужно взять какую-нибудь точку, принадлежащую одной из полуплоскостей, и проверить, удовлетворяют ли ее координаты данному неравенству. Если координаты взятой точки удовлетворяют данному неравенству, то искомой является та полуплоскость, которой принадлежит эта точка, в противном случае – другая полуплоскость.

Рисунок 1. Графический метод решения

На рисунке 1, область допустимых решений не ограничена и отмечена штрихом. Координаты любой точки, принадлежащей этой области, удовлетворяют данной системе неравенств и условию неотрицательности переменных. Поэтому сформулированная задача будет решена, если мы сможем найти точку, принадлежащую области допустимых решений, в которой целевая функция принимает минимальное значение. Чтобы найти указанную точку, построим вектор и линию уровня, которая перпендикулярна этому вектору.

Так как задача на минимум, то линию уровня будем двигать по направлению вектора. Первая точка касания и будет оптимальным решением. Координаты этой точки и определяют оптимальные количества кормов и , при которых ежедневные затраты на кормление одного животного являются минимальными.

В данном примере это точка пересечения прямых I и Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых

Следовательно, если совхоз для кормления животных будет использовать 2 кг корма 1 и 2 кг корма 2, то минимальные затраты составят

Если данную задачу решать на максимум, то линия уровня будет сдвигаться вправо до бесконечности (так область решений не ограничена). Таким образом, конечного решения не будет.

Задача № 2. Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях.

В обработку поступили две партии досок для изготовления комплектов из трех деталей (треугольные каркасы настилов на стройплощадку), причем первая партия содержит 52 доски длиной по 6,5 м каждая, вторая содержит 200 досок длиной по 4 м каждая. Каждый комплект состоит из двух деталей по 2 м каждая и одной детали в 1,25 м.

Ставится задача поиска рационального варианта раскроя поступившего в обработку материала.

Решение:

Критерием оптимальности в данной задаче будет максимум выпуска комплектной продукции. Построим возможные способы раскроя исходного материала:

Введем необходимые обозначения: – число досок из партии , которое следует раскроить способом. Рассмотрим соотношения:

Обозначим через – минимальное из этих соотношений (это и будет количество комплектной продукции). Следовательно, экономико-математическая модель примет вид:

– Целые неотрицательные. Для удобства записи заменим двухиндексные переменные на одноиндексные переменные так как это показано в таблице раскроя Тогда ЭММ задачи примет вид:

При ограничениях:

Реализуя приведенную модель в любом пакете прикладных программ, получим решение:

Оптимальные значения остальных переменных равны нулю. Следовательно, в данной хозяйственной ситуации максимальное количество наборов, равное 215 шт. можно изготовить и реализовать, если:

– раскроить каждую из 15 досок длиной 6,5 м на 2 детали по 2 м и 2 детали по 1,25 м;

– раскроить каждую из 37 досок длиной 6,5 м на 5 деталей по 1,25 м;

– раскроить каждую из 200 досок длиной 4 м на 2 детали по 2 м. В этом случае будет получена максимальная выручка.

Задача № 3. Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования.

Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у. е.) на перевозку 1тонны песка с карьеров на ремонтные участки.

Числовые данные для решения содержатся ниже в Матрице планирования. Требуется:

1) Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

2) Что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ?; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами?

Матрица планирования:

Решение:

Суммарные объемы предложений по карьерам равны суммарным объемам потребностей по участкам работ, т. е. выполняется условие общего баланса Следовательно, данная задача закрытого типа.

Построим начальный базисный план Методом минимальной стоимости. Назначение перевозок начинаем с клетки (1,5), имеющей минимальную стоимость перевозки (1). В клетку (1,5) записываем наименьшее из значений и и исключаем из дальнейшего рассмотрения пятый участок. Корректируем предложение первого карьера на величину

Следующая поставка осуществляется от второго карьера третьему участку. В клетку (2,3) назначаем перевозку исключаем из дальнейшего рассмотрения третий участок. Корректируем предложение второго карьера С оставшейся матрицей поступаем аналогично предыдущему:

План перевозок, построенный методом минимальной стоимости:

Построенный начальный план перевозок является вырожденным, так как число назначенных перевозок меньше В одну из свободных клеток поставим ноль. Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Определим оптимальность полученного плана. С помощью Метода потенциалов вычислим потенциалы строк и столбцов по стоимости перевозок в загруженных клетках. Если известен , то если известен , то Положим, например, Тогда будут вычислены и остальные потенциалы строк и столбцов.

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Начиная с клетки разметим вершины контура попеременно знаками плюс «+», минус «-», обходя замкнутый контур в любом направлении. Из клеток, помеченных знаком «-», выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 100 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».

Определим полную стоимость перевозок по новому плану

Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:

Полученный план не оптимален. Среди оценок имеется отрицательное значение. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план: на 0 увеличим перевозки в клетках, помеченных знаком «+», и уменьшим в клетках, помеченных знаком «-».

Определим полную стоимость перевозок по новому плану

Вычислим потенциалы и величины превышения стоимости для незагруженных клеток:

Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален.

Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ. В этом случае, будем считать, что транспортные затраты на перевозку от первого карьера до второго участка работ бесконечно большая . Составим начальный план методом минимальной стоимости в столбце.

Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число назначенных перевозок равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Характеристики свободных клеток не отрицательны, следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при запрете на перевозку с первого карьера на второй участок, транспортные расходы вырастут на

Выясним, что произойдет с оптимальным планом, если перевозка от первого карьера до второго участка работ будет ограничена объемом 3 тонны. Составим начальный план произвольным образом, учитывая данное ограничение.

Построенный начальный план перевозок является невырожденным, так как число базисных клеток (без ограничений на перевозку) равно Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Определим оптимальность полученного плана с помощью Метода потенциалов.

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Полученный план не оптимален. Среди оценок имеются отрицательные значения. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план.

Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Полученный план не оптимален. Среди оценок имеются отрицательные значения. Потенциальной является клетка . От клетки строим замкнутый контур: Выбираем наименьшее значение объема перевозки Сформируем новый улучшенный план.

Определим полную стоимость перевозок по найденному опорному плану:

Для незагруженных клеток вычислим величины превышения стоимости

Характеристики свободных клеток не отрицательны (кроме клетки с ограничением), следовательно, текущий план оптимален. Таким образом, при ограничении на перевозку с первого карьера на второй участок тремя тоннами, транспортные расходы вырастут на

Задача № 4. Рассчитать характеристики системы массового обслуживания. Поток требований является простейшим (пуассоновским), а продолжительность обслуживания распределена по экспоненциальному закону.

На строительном участке в инструментальной мастерской работают 3 мастера. Если рабочий заходит в мастерскую, когда все мастера заняты обслуживанием ранее обратившихся работников, то он не уходит из мастерской и ожидает обслуживания. Статистика показала, что среднее число рабочих, обращающихся в мастерскую в течение часа, равно 4, среднее время, которое затрачивает мастер на заточку или ремонт инструмента, равно 10 мин. Рассчитайте основные характеристики работы данной мастерской как СМО с ожиданием.

Решение:

Имеем

Тогда интенсивность обслуживания равна

Интенсивность нагрузки равна

Поскольку

Очередь не растет безгранично и имеет смысл говорить о предельном стационарном режиме работы СМО. Находим вероятности состояний:

Число занятых каналов найдем, разделив абсолютную пропускную способность СМО на интенсивность обслуживания

Вероятность отсутствия очереди будет:

Среднее число рабочих в очереди:

Среднее число рабочих в мастерской:

Среднее время ожидания в очереди:

Среднее время пребывания рабочего в мастерской:

4.3 Решение двойственной задачи об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха с помощью MS Excel

1. Организуйте данные так, как показано на рис. 12.

Рисунок 12 – Организация данных на листе MS Excel для двойственной задачи к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха

2. Вызовите «Поиск решения»,заполните окно согласно модели. Не забудьте отметить в параметрах минимизации, что это линейная модель.

3. Решение двойственной задачи представлено на рис. 13.Обратите внимание, что цена ресурса «Стекло» y2= 0. Подумайте почему.

Рисунок 13 – Результат решения на листе MS Excel для двойственной задачи к задаче об оптимальном плане выпуска продукции мебельного цеха

Задание 1. Задача ЛП

Выберите вариант задания согласно вашему порядковому номеру в списке группы.

1. Постройте экономико-математическую модель задачи линейного программирования (ЗЛП), дайте необходимые комментарии к ее элементам.

2. Сформулируйте двойственную задачу к ЗЛП, постройте экономико-математическую модель двойственной задачи.

3. Решите исходную и двойственную задачи при помощи надстройки «Поиск решения» MS Excel, выведите отчеты об устойчивости для исходной и для двойственной задач, поясните результаты.

Вариант 1

Совхоз для кормления животных использует два вида корма. В дневном рационе животного должно содержаться не менее 6 единиц питательного вещества А и не менее 12 единиц питательного вещества В. Какое количество корма надо расходовать ежедневно на одно животное, чтобы затраты были минимальными? Использовать данные таблицы.

Вариант 2

Совхозу требуется не более 10 трехтонных автомашин и не более 8 пятитонных. Отпускная цена автомашины первой марки 2 000 ден. ед., второй марки 4 000 ден.ед. Совхоз может выделить для приобретения машин 40 000 ден. ед. Сколько следует приобрести автомашин каждой марки в отдельности, чтобы их общая (суммарная) грузоподъемность была максимальной.

Вариант 3

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный — 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется,по меньшей мере,10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный — 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Вариант 4

На имеющихся у фермера 400 га земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои — 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей, — 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои — 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Вариант 5

Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25 000 долл.) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси – Е» и «Дикси – В». Цецы на акции: «Дикси – Е» — 5 долл. за акцию; «Дикси – В» — 3 долл. за акцию. Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук. По оценкам «ABC», прибыль от инвестиций в эти акции в следующем году составит: «Дикси – Е» — 1,1 долл.; «Дикси – В» — 0,9 долл.

Вариант 6

При производстведвух 2 видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице.

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида — 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции, обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Вариант 7

Фирма производит два широко популярных безалкогольных напитка — «Лимонад» и «Тоник». Фирма может продать всю продукцию, которая будет произведена. Однако объем производства ограничен количеством основного ингредиента и производственной мощностью имеющегося оборудования. Для производства 1 л «Лимонада» требуется 0,02 ч работы оборудования, а для производства 1 л «Тоника» — 0,04 ч. Расход специального ингредиента составляет 0,01 кг и 0,04 кг на 1 л «Лимонада» и «Тоника» соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы имеется 24 ч времени работы оборудования и 16 кг специального ингредиента. Прибыль фирмы составляет 0,10 ден. ед. за 1 л «Лимонада» и 0,30 ден. ед. за 1 л «Тоника».

Сколько продукции каждого вида следует производить ежедневно, если цель фирмы состоит в максимизации ежедневной прибыли?

Вариант 8

Имеются два проекта на строительство жилых домов. Расход стройматериалов, их запас, и полезная площадь дома каждого проекта приведены в таблице. Определить, сколько домов первого и второго проекта следует построить, чтобы полезная площадь была наибольшей.

Вариант 9

Сельскохозяйственное предприятие может приобрести тракторы марок М1 и М2 для выполнения работ Р1, Р2и Р3. Производительность тракторов при выполнении указанных работ, общий объем работ, и стоимость каждого трактора приведены в таблице.

Найти оптимальный вариант приобретения тракторов, обеспечивающий выполнение всего комплекса работ при минимальных денежных затратах на технику.

Вариант 10

При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. протеина, 10 ед. углеводов. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице.

Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 ден.ед., второго – 6 ден.ед.

Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

Вариант 11

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Другие условия задачи приведены в таблице.

Составить такой план выпуска продукции, при котором прибыль предприятия от реализации продукции будет максимальной при условии, что изделий В надо выпустить не менее, чем изделий А.

Вариант 12

Рацион для питания животных на ферме состоит из двух видов кормов I и II. Один килограмм корма I стоит 80 ден. ед. и содержит: 1 ед. жиров, 3 ед. белков, 1 ед. углеводов, 2 ед. нитратов. Один килограмм корма II стоит 10 ден. ед. и содержит 3 ед. жиров, 1 ед. белков, 8 ед. углеводов, 4 ед. нитратов.

Составить наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 9 ед., углеводов не менее 8 ед., нитратов не более 16 ед.

Вариант 13

При производстве двух видов продукции используется 3 вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимум прибыли. Исходные данные приведены в таблице.

Вариант 14

Для изготовления шкафов и буфетов мебельная фабрика применяет древесину четырёх видов, запасы которой ограничены и составляют соответственно: 12, 16, 12, 8 единиц. Количество единиц древесины для изготовления 1 шкафа и 1 буфета даны в таблице. Требуется составить такой план выпуска продукции, который обеспечивает наибольший доход, если от реализации шкафов получено 2 д. ед. дохода, а буфетов – 3 д. ед. дохода.

Вариант 15

При производстве двух видов продукции используется 3 вида сырья (исходные данные приведены в таблице). Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль.

Вариант 16

Для кормления коров используются концентрированные и грубые корма. Один кг концентрата содержит 1 кормовую единицу и 0,08 протеина. Один кг грубых кормов содержит 0,25 кормовых единиц и 0,04 протеина. Суточный рацион одной коровы должен содержать не менее 10 кормовых единиц и не менее 1,2 единиц протеина. Определить оптимальный вариант суточного рациона кормления при условии, чтобы стоимость рациона была минимальной, если 1 кг концентрата стоит 5 ден. ед., а 1 кг грубых кормов – 2 ден.ед.

Вариант 17

В рационе животных используют два вида кормов. Животные должны получать 3 вида веществ (исходные данные приведены в таблице). Составить рацион кормления, обеспечивающий минимальные затраты.

Вариант 18

На предприятии выпускается два вида изделий, при этом используется три вида сырья. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную прибыль. Исходные данные приведены в таблице:

Вариант 19

На свинокомплексе производится откорм свиней, причём каждое животное должно получать 6 единиц вещества А; 8 единиц вещества В; 12 единиц вещества С. Для откорма нужно закупить 2 вида кормов: в I корме содержится 2 ед. вещества А; 1 ед. вещества В; 3 ед. вещества С; во II корме содержится 1 ед. вещества А; 2 ед. вещества В; 4 ед. вещества С. Стоимость 1 ед. корма I вида равна 2 ден. ед. Стоимость 1 ед. корма II вида равна 3 ден. ед.

Сколько надо закупить каждого вида корма, чтобы обеспечить наиболее дешёвый рацион питания.

Вариант 20

Фермер в своем хозяйстве может одновременно откармливать до 500 уток и гусей. Откорм одной утки обходится (в среднем) 10 руб., а одного гуся — в 30 руб. Магазин согласен закупить откормленных птиц по следующим ценам: 30 руб. за утку, 70 руб. за гуся. Фермер может выделить на откорм птиц 9000 руб. В каком количестве следует откармливать уток и гусей, чтобы получить максимальную прибыль?

Вариант 21

Для повышения урожайности опытного участка необходимо внести в почву не менее 300 условных единиц фосфорных удобрений и 200 условных единиц калийных удобрений. В магазине не оказалось фосфорных и калийных удобрений в чистом виде. В продаже были только 2 смеси удобрений, содержащие фосфор и калий. Один грамм смеси I — содержит 2 единицы калийных удобрений и 9 единиц фосфорных удобрений. Один грамм смеси II содержит 7 единиц калийных удобрений и 4 единицы фосфорных удобрений. Обе смеси стоят одинаково — по 10 руб. за килограмм. Сколько нужно купить каждой смеси, необходимой для внесения в почву, чтобы при этом затратить на всю покупку как можно меньше денег?

Вариант 22

В швейном цехе имеется 380м ткани. На пошив одного платья требуется 5 м ткани, а на одну юбку 3м. Трудоемкость пошива платья 7 чел. часа, а юбки 4 чел.час. В мастерской работают 10 человек по 8 часов в день 5 дней в неделю. Сколько следует изготовить платьев и юбок для получения наибольшей стоимости продукции, если платье стоит 10., а юбка — 7 у.е..

Вариант 23

Для производства двух видов изделий А и В предприятие использует три вида сырья. Нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции данного вида приведены в таблице. В ней же указаны прибыль от реализации одного изделия каждого вида и общее количество сырья данного вида, которое может быть использовано предприятием.

Определите производственную программу, обеспечивающую максимальную прибыль.

Вариант 24

Содержание витаминов А и С в .1 кг фруктов задано таблицей:

Сколько килограммов вишни и сколько граммов абрикосов следует включить в дневной рацион при минимальных затратах, если 1 кг вишни стоит 40 руб а 1 кг абрикосов — 50 руб.

Вариант 25

На мебельной фабрике из стандартных листов фанеры необходимо вырезать заготовки трех видов в количествах, соответственно равных 24, 31 и 18 шт. Каждый лист фанеры может быть разрезан на заготовки двумя способами. Количество получаемых заготовок при данном способе раскроя приведено в таблице. В ней же указана величина отходов, которые получаются при данном способе раскроя одного листа фанеры.

Определить, сколько листов фанеры и по какому способу следует раскроить так, чтобы получить заготовок не меньше нужного количества при минимальных отходах.

Транспортная задача

Четыре фабрики и их производственные возможности в условных единицах (за определенный период времени) показаны ниже:

Произведенный товар распределяется и развозится в следующие города-потребители в указанном количестве:

(За тот же период времени)

Транспортные расходы (стоимость перевозки ед. продукции) с каждой фабрики в каждый центр распределения